整式与分式 考点3 因式分解(1)

一、考点分析

课标要求：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）

中考分析：因式分解在中考数学中是高频考点，甚至可以说是必考考点，以考查因式分解为主以填空题形式出现，偶有考查因式分解概念以选择题形式出现.一般以提公因式法、公式法的考查为主，以二步为主，偶尔也出现简单的十字相乘法或分组分解法。

以基础题为主，偶出现中档题

二、知识方法

1.把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解(因式分解与整式乘法是互逆运算)。

2.因式分解的基本方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

(2)公式法：运用平方差公式：${a}^{2}-{b}^{2}=(a+b)(a-b)$

运用完全平方公式：${a}^{2}±2ab+{b}^{2}={(a±b)}^{2}$

注：①对于公式中a,b可以是单个字母也可以是代数式，②公式特点，平方差公式：两个平方项的差；完全平方公式：两个平方项同号(若为同负，则可提负号)且2倍交叉项

(3)分组分解法：针对超过3项

对于4项：二二分组，组内提公因式或平方差，组间提公因式

一三分组，组内三用完全平方公式，组间用平方差

对于5项：二三分组，组内提公因式或公式，组间提公因式

3.步骤：若有公因式，则先提出最大公因式，再考虑公式法(若是2项考虑平方差，若是3项考虑完全平方公式(有时也考虑十字相乘法))，最后若是4项及以上考虑分组分解法，最后检查是否分解彻底。

注:(1)注意进行因式分解的数集范围,如：分解因式${a}^{4}-4$

在有理数范围内为： ${a}^{4}-4$= ${(a}^{2}+2)({a}^{2}-2$)

在实数范围内为：${a}^{4}-4$= ${(a}^{2}+2)({a}^{2}-2$)=${(a}^{2}+2)(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2}$)

(2)方法归纳：一提(最大公因式)二套(公式)三分(组)四查(分彻底)

三、题型分析

例1.因式分解(1) ${x}^{3}-x$ (2) ${3a}^{3}{-6a}^{2}+3a$

分析:一提(公因式)二套(公式)三分(组)四查(分彻底)

(1) ${x}^{3}-x$

$=x({x}^{2}-1)$ (提最大公因式)

$=x(x+1)(x-1)$ (套公式)

(2)${3a}^{3}{-6a}^{2}+3a$

$=3a({a}^{2}-2a+1)$ (提最大公因式)

$=3a{(a-1)}^{2}({a}^{2}-6a+1)$ (套公式)分析2(整体代入法)：由 ${x}^{2}-3x+1=0$表示

例2.在实数范围内分解因式${b}^{4}{-4b}^{2}+4$

分析:方法,一提(公因式)二套(公式)三分(组)四查(分彻底)

注意在实数范围内

${b}^{4}{-4b}^{2}+4$

$={({b}^{2})}^{2}{-4b}^{2}+4$ (套公式)

$={({b}^{2}-2)}^{2}$ (套公式)

注意${b}^{2}-2$在有理数范围内不能分解，但在实数范围内还能分解，${(\sqrt{2})}^{2}=2$，即

${({b}^{2}-2)}^{2}$

$={[{b}^{2}-{(\sqrt{2})}^{2}]}^{2}$ (化为平方差的标准形式)

$={[(b+\sqrt{2})(b-\sqrt{2})]}^{2}$ (用平方差分式分解)

$={(b+\sqrt{2})}^{2}{(b+\sqrt{2})}^{2}$ (化为平方差的标准形式)

例3.因式分解$3ax-4by-4ay+3bx$

分析1:观察，没有公因式，也不能直接用公式，所以考虑分组(对于3项有时还考虑十字相乘法)

$3ax-4by-4ay+3bx$

$=(3ax-4ay)-(4by-3bx)$ (一三、二四分组,注意符号)

$=a(3x-4y)-b(4y-3x)$ (提公因式)

$=a(3x-4y)+b(3x-4y)$ (转化互反公因式)

$=(3x-4y)(a+b)$ (提公因式)

也可以这样写

$3ax-4by-4ay+3bx$

$=(3ax-4ay)+(3bx-4by)$ (一三、二四分组)

$=a(3x-4y)+b(3x-4y)$ (提公因式)

$=(3x-4y)(a+b)$ (再提公因式)

分析2: (一四、二三分组)

$3ax-4by-4ay+3bx$

$=(3ax+3bx)-(4by+4ay)$ (一三、二四分组,注意符号)

$=3x(a+b)-4y(b+a)$ (提公因式)

$=(a+b)(3x-4y)$ (再提公因式)

(注：分析1是一三、二四分组

分析2是一四、二三分组

此题不能一二、三四分组：组内无法分解，组间也无法分解)

例4.因式分解 ${a}^{2}{+4b}^{2}-4ab-{c}^{2}$

分析:观察，没有公因式，也不能直接用公式，所以考虑分组，同时注意式中有平方项，这时不但要考虑提公因式，还要考虑分组后能用公式

分析可知，前3项一组用公式

${a}^{2}{+4b}^{2}-4ab-{c}^{2}$

$=({a}^{2}{+4b}^{2}-4ab)-{c}^{2}$

$={(a-2b)}^{2}-{c}^{2}$ (用公式)

$=(a-2b+c)(a-2b-c)$ (再用公式)

例5.对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x²+2x-3,从左到右的变形，表述正确的是( )

A.都是因式分解 B.都是乘法运算

C. ①是因式分解,②是乘法运算

D. ①是乘法运算,②是因式分解

分析：对于①左边和差形式，右边是乘积形式，

所以是因式分解

对于②是乘积形式，右边是和差形式

所以是乘法运算

所以，选C

例6.下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )

A.(x+1)(x-1)=x²-1 B.x²-2x+1=x(x-2)+1

C.x²-4y²=(x-2y)² D.x²+2x+1= =(x+1)²

分析：A选项:从左到右是乘法运算

B选项:部分是因式分解，应该是x²-2x+1=(x-1)²

C选项:因式分解错误，应该是x²-4y²=(x+2y)(x-2y)

D选项:是因式分解

所以，选D

四、方法归纳

1.把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解(因式分解与整式乘法是互逆运算)。

2.因式分解的基本方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

(2)公式法：运用平方差公式：${a}^{2}-{b}^{2}=(a+b)(a-b)$

运用完全平方公式：${a}^{2}±2ab+{b}^{2}={(a±b)}^{2}$

注：①对于公式中a,b可以是单个字母也可以是代数式，②公式特点，平方差公式：两个平方项的差；完全平方公式：两个平方项同号(若为同负，则可提负号)且2倍交叉项

(3)分组分解法：针对超过3项

对于4项：二二分组，组内提公因式或平方差，组间提公因式

一三分组，组内三用完全平方公式，组间用平方差

对于5项：二三分组，组内提公因式或公式，组间提公因式

3.步骤：若有公因式，则先提出最大公因式，再考虑公式法(若是2项考虑平方差，若是3项考虑完全平方公式(有时也考虑十字相乘法))，最后若是4项及以上考虑分组分解法，最后检查是否分解彻底。

注:(1)注意进行因式分解的数集范围,如：分解因式${a}^{4}-4$

在有理数范围内为： ${a}^{4}-4$= ${(a}^{2}+2)({a}^{2}-2$)

在实数范围内为：${a}^{4}-4$= ${(a}^{2}+2)({a}^{2}-2$)=${(a}^{2}+2)(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2}$)

(2)方法归纳：一提(最大公因式)二套(公式)三分(组)四查(分彻底)

五、巩固练习

1. 因式分解(1) ${x}^{3}y-4x{y}^{3}$(2) ${-x}^{3}{+2x}^{2}-x$

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2、在实数范围内分解因式${2b}^{4}-{6b}^{2}$

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3、$7{x}^{2}+xy-21x-3y$

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4、${4x}^{2}-4xy-{a}^{2}+{y}^{2}$

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5、${1-m}^{2}-{n}^{2}+2mn$

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